上一篇文章提到过 Frege, G. 以及同时代的逻辑学家接受「类（=class）」是逻辑学的主题，对类设立公理无外乎写下自然的刻画规则，而非特设的额外规定。相反，当代的 ZF 集合论公理则规定了集合的行为，通过明确排除一些悖论来建立理论体系，这种特设的公理很自然且合理的被视为是非逻辑的。这也是当时的逻辑主义纲领失败的根本原因：我们必须设立「非逻辑」的公理来得到合适的数学基础。
今天我们来仔细喵一下这个不得不用非逻辑手段排除的悖论。
在《算术原理》的后记，Frege 氏记载了跟 Russell, B. 的通信：
Frege, G. Grundgesetze der Arithmetic, Band I/II. 1893/1903.
这是 2013 年的英语翻译版本：
Frege, G. Basic Laws of Arithmetic: Derived Using Concept-Script. Vol I/II. Translated and edited by Elbert, P. and Rossberg, M., with Wright, C. 2013.
意思就是这个基本定律 V 坏得很。
用中文重新写这个句子，这是在说
基本定律 V 概念 $F$ 的外延和概念 $G$ 的外延相等，只有且只要对所有 $x$ 都有 $Fx$ 和 $Gx$ 等价。
$$\varepsilon F=\varepsilon G \iff \forall x(Fx\leftrightarrow Gx).$$
回忆逻辑学里「概念」被定义做（如果你是唯名论者）／被展示成（如果你是实在论者）一个单输入的命题函数，外延就是使得概念为真的那些输入，即实例 $$\varepsilon F=\{x|Fx\}.$$
在这里，类概括原理保证了对恰当的谓词 $F$，$\varepsilon F$ 是一个类。注意类不自动是论域的对象。
Frege 氏是实在论者，所以他希望基本定律 V 展示了逻辑「应该有的样子」，而非「被规定成某个样子」。在这个立场上他这一书写应该是成功的，确实没有人会认为此处概念外延和命题的相互关系是某种特设规定的结果。他的想法是，我们为每一个概念 $F$ 指定了一个对象 $\varepsilon F$ 作为代表这个概念的对象。基本定律 V 于是在声称这个对象确实是概念的「相同外延关系的分类不变量」。
如 Frege 氏在后记所言，他认为悖论的产生要归咎于基本定律 V。但是 Hampkins, J. *认为 Frege 氏这一归咎是错误的。在当代解读中，基本定律 V 可由如下的类外延原理导出
类外延原理 两个类 $A$ 和 $B$ 是相等的，只有且只要它们拥有完全相同的元素。
而这在现代所有类论中仍然被采纳为公理。要看出基本定律 V 被类外延原理蕴含，只需取 $A=\{x|Fx\},B=\{x|Gx\}$。
Hampkins 氏主张，问题出在对基本定律 V 的隐含解读，即「概念的外延本身处在论域中」，这使得它被量词 $\forall$ 管辖。隐含解读使得这一主张等同于一个似乎符合直观的「原理」：
「普遍概括原理」 对于任何性质 $\varphi$，可以形成具有性质 $\varphi(x)$ 的所有 $x$ 的集合，即 $$\{x|\varphi(x)\}$$ 是一个集合。
这个「原理」是在说，一切能够说得出来的性质理当有一个集合对应它。而 Russell 氏悖论挑战的正是这个说法。
Russell 氏悖论 如果 $$\varphi(x)=\text{$x$是一个集合且$x\not\in x$}$$ 那么由「普遍概括原理」有集合 $R=\{x|\varphi(x)\}$，此时 $R\in R$ 且 $R\not\in R$。
这一悖论相当于说，我们不能拥有一个对象的总体，使得总体中的对象构成的每一个类 $\{x|Fx\}$ 都对应于一个总体中的外延对象 $\varepsilon F$。Hampkin 氏的结论是，要归咎的不是基本定律 V，而是「普遍概括原理」。
- Hampkins, J. Lectures On the Philosophy of Mathematics. 2020.
如果认可 Russell 氏悖论的产生等于「普遍概括原理」的失败，那么 Russell 氏悖论的结构就会告诉我们为何对原理的直观并不奏效。实际上很容易我们就可以看出形如 $$x\not\in x$$ 之类的句子就不是人该说出来的。我们实际上理当预期集合之间应该有层级之分，低层级的集合不应该谈论高层级集合。承认这一观念下，「普遍概括原理」的失败正是因为没有考虑「层级」，在谈论 $$(\quad)\in x$$ 我们要求空格只能填写所有低于 $x$ 的层级，所以 $x \in x$ 或者 $x\not\in x$ 从而永远不会也不该被说出。Russell 氏悖论的产生实际上只是因为我们没有深思熟虑过集合论而导致的，它是不成熟的尝试的一部分——消解它也很简单。
纳入集合的层垒观点，我们可以将集合论修成正确的样子。Zermelo 在 1908 年首先提出
分离公理（狭义概括公理） 对于任何属性 $\varphi$ 和任何给定的集合 $A$，都可以形成在 $A$ 中具有属性 $\varphi$ 的集合，也就是说 $$\{x\in A|\varphi(x)\}$$ 是一个集合。
将概括公理限制在给定集合中挑选子集的情况尊重了集合的层垒。现在的 ZF 公理系统里，我们还要求 $\varphi$ 是个一阶公式以排除二阶逻辑及其元理论的一些固有问题。另一种尊重集合层垒的方式是 Russell 提出的（分支）类型论，暂且略过。
在中文世界中有「数学三大危机」的说法，分别是无理数的发现、无穷小量的严格化和 Russell 氏悖论。在英语世界则从来没有这种并列，就算有也没有这么冠名。我非常好奇到底是谁发明的这种说法。无论是对数学内容还是数学史有所理解，都会觉得这么说法不可思议：如果危机就是跟既有观念冲突，那数学危机多了去了，这三个也不见得是最大的三个；如果危机指赖以生存的真理性遭到动摇而非理论局限，那这三个里面只有 Russell 氏悖论够格，剩下两个至多挑战了信念、根本没有威胁任何「真相」。我个人猜测这实际上是某种分析学史的流行化，无理数和无穷小量分别对应产生实数理论和极限理论的原初动机。但无论如何，把数学史概述为三大危机怎么样都显得太过扁平了。